線形代数学 「演算の定義」

テストやら旅行やらで全然更新していませんでしたね…hahaha
ぼちぼちやっていきます.


前回,ベクトル空間の公理を述べた際に「加法」やら「乗法」をさも当たり前のように用いました.この含みのある言い方に対して,なんかツッコむところあるんすか?と思うかもしれませんが
「足すとか掛けるってそもそも何なんやろ…」
とか考えながら胸に手を当ててください.めっちゃモヤモヤしません?

てなわけでモヤモヤで眠れないあなたのために「二項演算」,そして「加法」と「乗法」をきちんと定義してみました.(スペシャルサンクス:齋藤さん)

[定義] 二項演算
Xを集合とする.直積(X,X)からXへの写像fX上の二項演算(演算)という.

えらいシンプルですね.
同じ集合Xに含まれる任意の元(要素)を二つ選んで,
そいつらを写像で届けた先がXだった時,その写像を「二項演算」と命名しました.それだけ.
演算は,高々写像なんですね.この「演算は写像にすぎない」という見方はいろんなところで助けてくれると思います.たぶん.

[定義] 加法・乗法
x,y \in Xについて,
f(x,y)x+yと書くとき,この二項演算を加法と呼び,二項演算の結果x+yを和という.

また,f(x,y)xyと書くときはこの二項演算を乗法と呼び,二項演算の結果xyを積という.

ちょっと特別な二項演算に名前を付けたよと言ってるだけです.前振りのわりにあっけない.

12+3=15,18\times5=90 になるとか,数のルールについては何も言っていません.
あくまで集合っぽい考え方なんですね.
定義だけじゃよくわからんという方は,実際に適当なアルファベットを用意して定義通りに書いてみるとわかりやすいと思います.
以下では,集合チックに定めた加法と乗法のことを写像としての加法と乗法」と呼ぶことにします.


じゃあいつもやってる足し算掛け算はなんやねんとなりますね.
ちょっとアホみたいですが写像としての加法・乗法」だけでは普段の計算で保証されているような交換則はおろか,数字そのものすら保証されていないことがわかります.

普段は特に気にせずに
1+2=2+1, 33\times4=4\times33
のように「数字」を元として交換則の成り立つ演算「+」や「\times」を行っているのですが,
写像としての加法と乗法」を考えているだけでは,
単に集合Xとあるだけなので,集合に対し何らかの特別な条件を与えてやらなければなりません.


普段お馴染みの演算,つまり四則演算を満たした空間のことを「体(たい)」といいます.
「体」という四則演算を自由自在に実行できる特別な空間(集合)を用意することで,やっといつも通りの演算を行う事ができるのです.(厳密にいうと実数体ですね)


どんな集合にも交換則やら分配則やらが保障されているわけではないので,
普段計算を行っている分には一見当たり前なこともきっちりとルール付けしてやらないといけないのです.
ベクトル空間の公理みたいなのを長々書いたのもこの理由にあります.
めっちゃめんど…

突然ヌルっと紹介された「体」ですが,スカラー内積を考えるうえで重要になります.
体ついてきっちり言おうと思えば群やら環についても触れなきゃならないので,今回はこの辺で終わりにします.


今日は「演算は写像だよ」と言いたかっただけです.


[最後に一言]
一年ぐらい前に,友人が「本当にこれ普段通り掛け算していいのか,というかそもそも積ってなんなんや…ってなる時が来るで」なんてことを言ってたのですが,そう言いだしたくなる気持ちが最近になって少しわかった気がする…かも.

線形代数学「抽象ベクトル空間」

久しぶりの更新.思いのほか毎日忙しくてなかなか記事書けずにいました.

逃亡せず地道に頑張ります.たぶん.

無駄話はこの辺にして,早速見ていきましょう.

 

今日やろうと思っているのはタイトルにもある通り抽象ベクトル空間

前提知識は数ベクトル(高校でおなじみのベクトル)や行列の演算ができるくらいのもので何とかなると思います.

 

 抽象ベクトルを見る前に

高校時代に登場した「ベクトル」は,「矢印」と「長さ」を決めてやることで向きと大きさを目で見てわかる,直感的に扱いやすい便利な道具でした.

 

今からは専ら「抽象的なベクトル」の話をする予定です.

見てもらえればわかってもらえると思いますが,

「抽象的なベクトル」を考える際に「ベクトル=矢印・長さ」といった認識をいったん忘れるとわかりやすいと思います.

じゃあ抽象ベクトルについて見ていきましょう.

 

ベクトルの公理

ベクトル(vector)は公理によって抽象的な定義が与えられます.

 

ベクトルの公理

集合Vが以下の条件を満たすとき,Vをベクトル空間と呼ぶ.

太字の小文字アルファベットはベクトル空間Vの元(要素)を表し,

これをベクトルと呼ぶ.小文字のギリシャ文字スカラーとする.

 

(V1) 加法に関する法則

 \textbf{a}\, , \textbf{b}\, , \textbf{c} \in Vに対して,以下の法則が成立する.

  • 加法の交換則  \textbf{a}+\textbf{b} = \textbf{b}+\textbf{a}
  • 加法の零元の存在  \forall \textbf{a} \in Vに対して, \textbf{a}+\textbf{0} = \textbf{a}となるゼロベクトル \textbf{0}が存在する.
  • 加法の逆元の存在  \forall \textbf{a} \in V に対して, \textbf{a}+(-\textbf{a})= \textbf{0}を満たす逆ベクトル -\textbf{a}が存在する.

(V2)スカラー倍に関する法則

スカラーに対して \alpha \textbf{a} \in Vが定義され,以下の法則が成立する.

  • ベクトルに対する分配則 \alpha(\textbf{a}+\textbf{b})=\alpha\textbf{a}+\alpha\textbf{b}

 

…どんな教科書にも載ってるとても基本的な事柄です.

こんなんあたり前やんけと思うかもしれません.

しかし,ここで重要なのはベクトルは(公理を満たす)集合の元だということです.

何もいつもいつも数値で表現されてなくてもよく,

とにかく集合が上の公理を満たせば,それをベクトル空間と呼ぶのです.

だから抽象的だとうたっているわけです.

今までお馴染みの数ベクトル空間は(大げさに言うと)数多くあるベクトル空間の一つにすぎないのです.

 

ベクトル空間の例

ここで,抽象的なベクトル空間の例を見てみましょう.

 

例えば,実n次正方行列全体の集合はベクトル空間となります.

カッコつけて書くと↓みたいに書きます.

 M_n(\mathbb{R}) :=\{\textbf{A}=A:Aは実n次正方行列\}

本当にこいつが公理を満たすかどうか確認してみます.

 

(正方)行列同士の加法はもともと定義されおり,

これから加法に関する結合則と交換則は容易に得られます.

 (A+B)+C=A+(B+C)

 A+B=B+A

  (A\, , B \, ,Cは いずれも実n次正方行列)

 逆元の存在も,集合が実行列全体から構成されていることからわかります.

 

今回扱っているのは実行列なので,スカラーは実数です.

当然スカラーにまつわる法則も当然成り立ちます(省略)

 

零元は零行列

  0= { \begin{pmatrix} 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 0 \end{pmatrix} }

 

を考えることで存在を確認できます.

こうして,実 n次正方行列全体がベクトル空間の公理を満たすことは

容易に想像できるでしょう.

 

行列をこうして「ベクトル」と呼ぶのは不慣れなうちは抵抗がありますが,

ベクトルなもんはベクトルなのです。。。

 

他にも, n多項式常微分方程式で習う線形微分方程式の解全体の集合,

今後見る予定の双対空間やテンソル空間もベクトル空間です.

挙げだすときりがないのでこの辺でストップ.

 

どれも「矢印」や「長さ」で表せるような直観的なものではないですが,ベクトルの仲間なのです(しつこい)

 

 

 

今回はこの辺でおしまいー

 

[最後に一言]

行列表記するのに2時間はドブに捨てた.まだ文字とか見難いところ多いからおいおい更新します。。。

もう一度線形代数

二回目の投稿ですね。

誰が見てるんやという感情が自分の中で蔓延してますが、健気にやっていきたいと思ってます。ブログ上での口調とかもまだ手探りな感じで、絶賛迷走中です。

 

そういえば特に自己紹介もしてこなかったな・・・ということで軽く自己紹介。

身分としてはその辺にいる工学部の大学2年生です。物理にちょっと興味があります。自己紹介おわり。

 

 

そろそろ本題にはいろうかな。

タイトルにもある通り、ぼちぼち線形代数の復習をしたいと思ってます。

ベースとする教科書は佐武一郎の「線形代数学」(裳華房)

数学好きの知り合いからの評価も概ね高く、僕の大学の先生方も線形代数の名著として東大出版の齋藤さんのやつと、この佐武を挙げていました。

みんな大好き佐武様って感じですね。

この教科書の強みはなんといっても内容がとても充実しているところ。

一般の教科書のような内容だけでなく、ジョルダン標準形、群や環、さらにはテンソルまで扱っている。研究課題も数多く揃えており、ボリュームとしては申し分ないです。

このすんばらしい教科書を使って復習に励みたいと思ってます。

 

復習の動機は主に二つ。

 

一つ目の動機として、

大学で数学やら物理を中心に勉強する中で、線形代数の概念がいろんなところで絡んでるなあと常々感じたことが挙げられます。

電磁気学にとって不可欠なベクトル解析、量子力学を構成するヒルベルト空間、群論におけるナンタラ線形群・・・

見渡せばどこもかしこも線形やらベクトルやらが付きまとってきますし、復習せんとなぁと焦りを感じています。

 

二つ目の動機は一年の頃の消化不良にあります。

実は、佐武の線形を読むのは何も今回が初めてではありません。

佐武は大学一年生の頃ゼミで使用していた愛読書(棒)でした。

読んだことある人はわかると思いますが、表現の抽象度がめちゃめちゃ高くて、かなり難しい内容になっています。

一通りきっちりと基本を習得してからでないと難しくて読みづらいし、恩恵もさほど得られない。

初学者にはおすすめできない一冊なのです。

 

でも僕自身、なにをラリったのか評判だけを頼りに本を選んだ結果、

初学者なのに佐武を最初に読んでしまったんですよね。。。

身の丈に合った教科書を読みましょう(自戒)

ゼミで炎上しまいと必死に食らいついたつもりだったけど、何度も何度も打ちのめされっぱなしでした。

内容がイマイチ理解できず、ほかの教科書で賄う日々。

「自明」「明らか」がなんで自明なのかもよくできなかったり、行間が全然埋められなかったりと苦労を挙げればきりがない。

優秀な先輩の監督のもと、一年生3人でやっていたけど1人は逃亡、もう1人はサボりと化しメンバーは空中分解。

ほぼ先輩と僕のみでやることが多かったです。

一年間読んでゼミは解散

結局対角化までしか進めなかった。(これでも頑張ったほうだとは思う。。。)

群、環、テンソルなんて夢のまた夢であった。。。(完)

 

・・・こうして佐武ゼミは悲惨な結末を迎えたのですが、

折角一年かけて読んできたんだし、このままではあまりにも報われない。

ということで、闇を払拭すべく佐武再チャレンジも兼ねて線形代数を復習しようということです。

 

 

当面の目標は基本事項を復習しつつ、双対空間やテンソルについて見ていくこと。

途中で投げそうだけど、とりあえずやってみます。

間違っているところがあればご指摘してくださるとありがたいです。

 

頑張って記事書くかぁー

初めまして

初めまして。

ama_minと申します。読み方はいちおう「あまみん」ということで。

 

ハンドルネームはどう○つの森に登場するキャラ名から借用して、そのまま気に入った感じ。

キャラ自身にはさほど思い入れはないです。

 

それはさておき、ブログを開設した理由。

備忘録が欲しかった。それだけです。

面白いこと書けるといいんですけど、あんまり自信はないかな。。。

 

これ以上ダラダラ書き続ける気力も残っていないので、この辺でおわりましょう。

何とぞよろしくおねがいします。